Question

18．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{2}$，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（1）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（2）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证A₁O⊥平面BC₁D，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁O与平面BC₁D内两相交直线垂直，连接OC₁，根据线面垂直的性质可知A₁O⊥BD，根据勾股定理可知A₁O⊥OC₁，满足定理所需条件；
（2）利用V=$\frac{1}{3}•{A}_{1}O•\frac{1}{2}•BD•O{C}_{1}$，求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

解答 （1）证明：连接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（5分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（6分）
∵AB=BC=2，
∴AC=A₁C₁=2$\sqrt{2}$
∴$OA=\sqrt{2}$
∴Rt△AA₁O中，A₁O=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+O{A}^{2}}$=2（7分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（8分）
∴A₁O⊥平面BC₁D…（8分）
（2）解：∵A₁O⊥平面BC₁D，
∴所求体积V=$\frac{1}{3}•{A}_{1}O•\frac{1}{2}•BD•O{C}_{1}$=$\frac{1}{3}•2•\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$…（12分）

点评 本题考查三棱锥A₁-DBC₁的体积，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．