Question

10．如图1是图2的三视图，三棱锥B-ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点，△ABC的中线CE，BF交于点M．
（Ⅰ）证明：BD⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥A-DEF的体积；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点P，使得DF∥平面CPE，若存在，求$\frac{BP}{DP}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由三视图可知：BD⊥AD，BD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得：BD⊥平面ACD．即可得出．
（Ⅱ）由BD⊥平面ACD．取AD的中点G，连接EG，可得EG⊥平面ACD，利用V_A-DEF=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}×EG$即可得出．
（III）在线段BD上存在一点P，使得DF∥平面CPE，且$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$．由于E，F分别是棱AB，AC的中点，可得EF∥BC，$\frac{BM}{MF}=\frac{BC}{EF}=\frac{2}{1}$，可得$\frac{BP}{PD}=\frac{BM}{MF}$，DF∥PM．利用线面平行的判定定理即可证明．

解答 （I）证明：由三视图可知：BD⊥AD，BD⊥CD，又AD∩CD=D，
∴BD⊥平面ACD．
∵AC?平面ACD，
∴∴BD⊥AC．
（Ⅱ）解：∵BD⊥平面ACD．
取AD的中点G，连接EG，
∵E是AB的中点，
∴EG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴EG⊥平面ACD，EG=$\frac{3}{2}$，
∴V_A-DEF=V_E-ADF=$\frac{1}{3}{S}_{△ADF}×EG$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（III）解：在线段BD上存在一点P，使得DF∥平面CPE，且$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$．
下面给出证明：∵E，F分别是棱AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∴$\frac{BM}{MF}=\frac{BC}{EF}=\frac{2}{1}$，
∵$\frac{BP}{DP}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{BM}{MF}$，
∴DF∥PM．
∵DF?平面CPE，PM?平面CPE，
∴DF∥平面CPE．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三视图的概念及体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．