Question

16．在等差数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₅=-1，S₅=-12
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求前n项和为S_n，并指出当n为何值时，S_n取最小值；
（3）若T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（1）通过a₅=-1、S₅=-12，计算可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知S_n=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，通过f（x）=7x²-83x的图象是以x=$-\frac{-83}{2×7}$=$\frac{83}{14}$为对称轴、开口向上的抛物线，再比较S₅、S₆即可；
（3）由（2）知，a₆＜0、a₇＞0，通过题意，得T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{S}_{n}，}&{n≤6}\\{{S}_{n}-2{S}_{6}，}&{n＞7}\end{array}\right.$，化简即可．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（1）∵a₅=-1，S₅=-12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}+（5-1）d=-1}\\{{S}_{5}=5{a}_{1}+\frac{5（5-1）}{2}d=-12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{19}{5}}\\{d=\frac{7}{10}}\end{array}\right.$，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=$-\frac{19}{5}+\frac{7}{10}（n-1）$=$\frac{7}{10}n-\frac{9}{2}$；
（2）由（1）知S_n=$n×（-\frac{19}{5}）+\frac{n（n-1）}{2}×\frac{7}{10}$=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，
记f（x）=7x²-83x，则f（x）的图象是以x=$-\frac{-83}{2×7}$=$\frac{83}{14}$为对称轴、开口向上的抛物线，
∵$6=\frac{84}{14}$＞$\frac{83}{14}$$＞\frac{70}{14}=5$，S₅=$\frac{7×{5}^{2}-83×5}{20}$=-12，S₆=$\frac{7×{6}^{2}-83×6}{20}$=$-\frac{123}{10}$，
∴当n=6时，S₆取最小值；
（3）由（2）知，令a_n=$\frac{7}{10}n-\frac{9}{2}$=0，即n=$\frac{45}{7}$，
故a₆=$-\frac{3}{10}$＜0，a₇=$\frac{4}{10}$＞0，
∴当n≤6时，S_n=$\frac{7{n}^{2}-83n}{20}$，
∵T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{S}_{n}，}&{n≤6}\\{{S}_{n}-2{S}_{6}，}&{n＞7}\end{array}\right.$，
又∵S₆=$-\frac{123}{10}$，∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7{n}^{2}-83n}{20}，}&{n≤6}\\{\frac{7{n}^{2}-83n+492}{20}，}&{n＞7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，考查函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．