Question

11．在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且（2a₂+2）²=5a₁a₃
（1）求公差d及数列{a_n}通项公式；
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．由d＜0，可得a_n=11-n，S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．令a_n≥0，解得n≤11．当n≤11时，T_n=S_n．当n≥12时，T_n=2S₁₁-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=10，且（2a₂+2）²=5a₁a₃，
∴[2（10+d）+2]²=50（10+2d），化为d²-3d-4=0，解得d=-1或d=4．
∴a_n=10-（n-1）=11-n，或a_n=10+4（n-1）=4n+6．
（2）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
∵d＜0，取d=-1，
∴a_n=11-n，
S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．
令a_n≥0，解得n≤11．
∴当n≤11时，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．
当n≥12时，T_n=2S₁₁-S_n=$2×\frac{11×（21-11）}{2}$-$（-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21n}{2}）$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n$+110．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．