Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=BC=3，CD=3$\sqrt{2}$，E为PB中点．
（Ⅰ）求三棱锥P-BCD的体积；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面PBD；
（Ⅲ）设M是线段CD上一点，且满足DM=2MC，试在线段PB上确定一点N，使得MN∥平面PAD，并求出BN的长．

Answer 1

分析 （I）由于平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，可得BC⊥平面PCD．再利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，可得BC⊥PD．进而得到PD⊥平面PBC．可得PD⊥CE，再利用线面垂直的判定定理及其性质定理即可证明．
（Ⅲ）在面PCD上，过M作MF∥PD交PC于F．在面PBC上，过F作FN∥BC交PB于N，连接MN．可得MF∥平面PAD．得到FN∥平面PAD．平面MNF∥平面PAD．从而，MN∥平面PAD．N为线段PB上靠近点B的三等分点，再利用等腰直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由已知PD=PC=3，$CD=3\sqrt{2}$可知，
△PCD是等腰直角三角形，∠CPD=90°．
∵平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD．
三棱锥P-BCD的体积$V=\frac{1}{3}{S_{△PCD}}×BC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}PC×PD）×BC=\frac{9}{2}$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PD．
∵∠CPD=90°，即PD⊥PC，
∴PD⊥平面PBC．
∵CE?平面PBC，
∴PD⊥CE．
∵PC=BC，E为PB中点，
∴CE⊥PB，
∵PD∩PB=P，
∴CE⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：在面PCD上，过M作MF∥PD交PC于F．
在面PBC上，过F作FN∥BC交PB于N，连接MN．
∵MF∥PD，MF?平面PAD，PD?平面PAD，
∴MF∥平面PAD．
∵FN∥BC∥AD，FN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴FN∥平面PAD．
∴平面MNF∥平面PAD．
从而，MN∥平面PAD．
由所作可知，△CMF为等腰直角三角形，$CM=\sqrt{2}$，
∴CF=1，PF=2．
△PNF，△PBC均为等腰直角三角形，
∴$PN=2\sqrt{2}$，$PB=3\sqrt{2}$．
∴N为线段PB上靠近点B的三等分点，且$BN=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、矩形的性质、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．