Question

13．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，BD=$\sqrt{14}$，E，F分别为AD，CD中点，BE．BF分别交AC于R，T，则|$\overrightarrow{AR}$|=2．

Answer 1

分析 由向量运算可得R为AC的一个三等分点，由已知数据可得cos∠BAD=$\frac{11}{24}$，可求$|\overrightarrow{AC}|$，可得答案．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BR}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AD}$，
又A、R、C共线，∴$\overrightarrow{AR}$=t$\overrightarrow{AC}$
=t（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=t$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=t}\\{\frac{1}{2}λ=t}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{1}{3}$，
即R为AC的一个三等分点，∴|$\overrightarrow{AR}$|=$\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{AC}|$，
∵AB=4，AD=3，BD=$\sqrt{14}$，
又∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{BD}$²=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）²，
∴14=16+9-2×4×3×cos∠BAD，解得cos∠BAD=$\frac{11}{24}$
∴$|\overrightarrow{AC}|$²=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=16+9+2×4×3×cos∠BAD=36，
∴$|\overrightarrow{AC}|$=6，∴|$\overrightarrow{AR}$|=$\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{AC}|$=2
故答案为：2

点评 本题考查平面向量的数量积，涉及平面向量基本定理和向量的共线以及模长公式，属中档题．