Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，求△ABC的内角A的度数．

Answer 1

分析 由数量积的运算易得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值，进而由向量的夹角和三角形内角的关系可得．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
∴（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=61，
代入数据可得64-48cosθ-27=61，（其中θ为向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角）
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，
∴A=π-θ，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$

点评 本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的夹角和三角形内角的关系，属基础题．