Question

15．在等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a₄=4，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}}$=$4-\frac{4}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，a₄=4，
∴$4=\frac{1}{2}×{q}^{3}$，解得q=2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2^2-n=$\frac{4}{{2}^{n}}$
则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}}$=4（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=4×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$4-\frac{4}{{2}^{n}}$．
故答案为：$4-\frac{4}{{2}^{n}}$．
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点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．