Question

9．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{x}{e^x}$，a，b∈R，且a＞0
（1）当a=2，b=1，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=a（x-1）e^x-f（x），若存在x＞1，使得g（x）+g′（x）=0成立，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=2，b=1的函数f（x）的导数，求得单调区间，求得极值；
（2）求出g（x）的导数，由题意可得存在x＞1，使2ax³-3ax²-2bx+b=0 成立．由a＞0，则$\frac{b}{a}=\frac{{2{x^3}-3{x^2}}}{2x-1}$，
设$u（x）=\frac{{2{x^3}-3{x^2}}}{2x-1}（x＞1）$，求出导数，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=2，b=1时，$f（x）=（2+\frac{1}{x}）{e^x}$，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
所以$f'（x）=\frac{（x+1）（2x-1）}{x^2}{e^x}$．                        
令f′（x）=0，得${x_1}=-1，{x_2}=\frac{1}{2}$，列表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	$（{0，\frac{1}{2}}）$	$\frac{1}{2}$	$（{\frac{1}{2}，+∞}）$
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

由表知f（x）的极大值是$f（{-1}）=\frac{1}{e}$，f（x）的极小值是$f（{\frac{1}{2}}）=4\sqrt{e}$．
（2）因为$g（x）=（ax-\frac{b}{x}-2a）{e^x}$，所以$g'（x）=（\frac{b}{x^2}+ax-\frac{b}{x}-a）{e^x}$．
由g（x）+g'（x）=0，得$（ax-\frac{b}{x}-2a）{e^x}+（\frac{b}{x^2}+ax-\frac{b}{x}-a）{e^x}=0$，
整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g （x）+g′（x）=0成立等价于存在x＞1，使2ax³-3ax²-2bx+b=0 成立．
因为a＞0，所以$\frac{b}{a}=\frac{{2{x^3}-3{x^2}}}{2x-1}$．
设$u（x）=\frac{{2{x^3}-3{x^2}}}{2x-1}（x＞1）$，则$u'（x）=\frac{{8x[{{（x-\frac{3}{4}）}^2}+\frac{3}{16}]}}{{{{（2x-1）}^2}}}$．
因为x＞1时，u'（x）＞0恒成立，所以u（x）在（1，+∞）是增函数，
所以u（x）＞u（1）=-1，
所以$\frac{b}{a}＞-1$，
即$\frac{b}{a}$的取值范围为（-1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查函数的单调性的运用，考查运算能力，正确求导和构造函数是解题的关键．