Question

1．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长均为a，D为BB₁上一点，则三棱锥C₁-ACD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点E，连接BE，由△ABC是等边三角形，可得BE⊥AC，利用面面垂直的性质可得：BE⊥平面侧面ACC₁A₁，再利用三棱锥C₁-ACD的体积V=${V}_{三棱锥D-AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×BE•{S}_{△AC{C}_{1}}$，即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点E，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE⊥AC，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，侧面ACC₁A₁∩底面ABC，
∴BE⊥平面侧面ACC₁A₁，
${S}_{△AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}AC•C{C}_{1}$-$\frac{1}{2}×{a}^{2}$．
∴三棱锥C₁-ACD的体积V=${V}_{三棱锥D-AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×BE•{S}_{△AC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．