Question

16．如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥BE，点M，N分别是AE，CD的中点．
（1）求证：MN∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）取BE中点F，连接CF，MF．欲证明MN∥平面BCE，只需推知MN∥CF，所以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质得到：平行四边形MNCF的对边平行-MN∥CF；
（2）根据“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”证得结论．

解答 证明：（1）取BE中点F，连接CF，MF，
又∵M是AE中点，
∴$MF∥AB，MF=\frac{1}{2}AB$，
又∵N是矩形ABCD边CD中点，
∴MF∥NC，MF=NC，
∴四边形MNCF是平行四边形，
∴MN∥CF，
又∵MN?平面BCE，CF?面BCE，
∴MN∥平面BCE；
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，而AE?平面ADE，
∴平面BCE⊥平面ADE．

点评 本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定．要求熟练掌握相关的平面与平面、直线与平面判定定理和三角形中位线定理．