Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$．g（x）=ax+1．
（1）若a=2，设函数h（x）=f（x）+g（x），求h（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）设函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），若?x₁、x₂∈（1，e²]，f（x₁）≤f′（x₂）-g′（x₂）成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=2时，h（x）的导数，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；
（2）分别求出f（x）的最小值，令h（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a，求出h（x），判断单调性即可得到h（x）的最大值，再由题意可得f（x）的最小值不大于h（x）的最大值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）若a=2，则h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x+1，
h′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$+2=$\frac{（2lnx-1）（lnx+1）}{（lnx）^{2}}$，
当x＞$\sqrt{e}$时，h′（x）＞0，h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）递增；
当1＜x＜$\sqrt{e}$时，h′（x）＜0，h（x）在（1，$\sqrt{e}$）递减．
则有h（x）的单调增区间为（$\sqrt{e}$，+∞），单调减区间为（1，$\sqrt{e}$）；
（2）f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，g′（x）=a，
当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）在（1，e）递减；
当e＜x≤e²时，f′（x）＞0，f（x）在（e，e²]递增．
则有x=e，f（x）取得最小值，且为$\frac{e}{lne}$=e．
令h（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a，
h′（x）=$\frac{1}{x}$•$\frac{2-lnx}{（lnx）^{3}}$，当1＜x≤e²时，h′（x）＞0，h（x）在（1，e²]递增，
则有x=e²，h（x）取得最大值，且为$\frac{1}{4}$-a，
由?x₁、x₂∈（1，e²]，f（x₁）≤f′（x₂）-g′（x₂）成立，
可得e≤$\frac{1}{4}$-a，
解得a≤$\frac{1}{4}$-e．
故实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{4}$-e]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算化简能力，属于中档题和易错题．