Question

11．如图是一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被一个平面截去一部分后，所得多面体的直观图，已知AB=6，AD=AA₁=4，BE=CF=2．
（Ⅰ）若点M的棱DD₁的中点，求证：BM∥平面A₁EFD；
（Ⅱ）求此多面体的体积．

Answer 1

分析 （I）连接ED₁，点M的棱DD₁的中点，DD₁=AA₁=4，可得四边形D₁MBE是平行四边形，BM∥ED₁，再利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面A₁EFD；
（II）由题意此多面体是一个四棱柱，底面ABEA₁是一个梯形，高h=AD=4，即可得出此多面体的体积V=sh．

解答 （I）证明：连接ED₁，
∵点M为棱DD₁的中点，DD₁=AA₁=4，
∴BE=MD₁=2，
又BE∥MD₁，
∴四边形D₁MBE是平行四边形，
∴BM∥ED₁，
又BM?平面A₁EFD，D₁E∥平面A₁EFD；
∴BM∥平面A₁EFD；
（II）解：由题意此多面体是一个四棱柱，
底面${S}_{ABE{A}_{1}}$=$\frac{（2+4）×6}{2}$=18，
高h=AD=4，
∴此多面体的体积V=sh=18×4=72．

点评 本题考查了线面平行的判定定理、四棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．