Question

19．如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M为AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CM；
（Ⅱ）若CA=CB，A₁在平面ABC的射影为M，求证：平面A₁CM⊥平面ABB₁ A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BC₁∥平面A₁CM；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A₁CM⊥平面ABB₁ A₁

解答 证法一：（I）连接AC₁交A₁C于点N，则N为A₁C的中点．…（1分）
∵M为AB的中点，
∴MN∥BC₁．…（3分）
又∵MN?平面A₁CM，…（4分）BC₁?平面A₁CM，…（5分）
∴BC₁∥平面A₁CM．…（6分）
（ II）∵CA=CB，M为AB的中点，
∴CM⊥AB． …（7分）
∵A₁在平面ABC的射影为M，
∴A₁M⊥平面ACB，…（8分）
∴A₁M⊥AB，…（9分）
又CM∩A₁M=M，
∴AB⊥平面A₁CM，…（10分）
又AB?平面ABB₁A₁，…（11分）
∴平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．…（12分）
证法二：（ I）取A₁B₁中点N，连结BN，C₁N，…（1分）
∵M为AB的中点，
∴A₁N=MB，A₁N∥MB
∴四边形A₁MBN为平行四边形，
∴BN∥A₁M．…（2分）
同理可得C₁N∥CM，
又C₁N?平面A₁CM，CM?平面A₁CM，…（3分）
∴C₁N∥平面A₁CM．…（4分）
同理BN∥平面A₁CM．
∵C₁N∩BN=N，
∴平面BC₁N∥平面A₁CM，…（5分）
∵BC₁?平面BC₁N，
∴BC₁∥平面A₁CM． …（6分）
（ II）∵CA=CB，M为AB的中点，
∴CM⊥AB． …（7分）
∵A₁在平面ABC的射影为M，
∴A₁M⊥平面ACB，…（8分）
∴A₁M⊥AB，…（9分）
又CM∩A₁M=M，
∴AB⊥平面A₁CM，…（10分）
又AB?平面ABB₁A₁，…（11分）
∴平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．…（12分）

点评 本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力．