Question

8．如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE；
（3）求三棱锥A-BCG的体积．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中位线性质得GH∥CD，然后由线面平行的判定定理得答案；
（2）由已知结合面面垂直的性质得ED⊥AD，进一步得到ED⊥平面ABCD，即有ED⊥BC．又BC⊥CD，则由线面垂直的判断得答案；
（3）依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即棱锥A-BCG的高h=$\frac{1}{2}$，然后代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵G、H分别是DF、FC的中点，
∴△FCD中，GH∥CD，
∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，
∴GH∥平面CDE；
（2）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
∴ED⊥AD，AD?平面ABCD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴ED⊥BC．
又BC⊥CD，CD、DE相交于D点，
∴BC⊥平面CDE；
（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，
即：h=$\frac{1}{2}$．
∴${V_{A-BCG}}={V_{GABC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．