Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＜0）的导数f′（x）满足下列条件：当1＜x＜4时，f′（x）＞0；当x＞4或x＜1时，f′（x）＜0；当x=4或x=1时，f′（x）=0．
（1）试画出函数f（x）的图象；
（2）若f（x）的图象与x轴有两个交点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的单调区间，从而画出函数的大致图象；（2）由题意得到方程组，解出a的值即可．

解答 解：（1）由题意得：f（x）在（-∞，1）递减，在（1，4）递增，在（4，+∞）递减，
且f（0）=1，
画出函数f（x）的大致图象，如图示：
；
（2）由f（x）的图象与x轴有两个交点，
得：f′（1）=0，f（1）=0，f′（4）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+1=0}\\{3a+2b+c=0}\\{48a+8b+c=0}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{3}{17}$．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查函数的极值问题，是一道中档题．