Question

6．若在区间（a，b）上任意x满足f（x）＞0，f′（x）＞0，f″（x）＞0，其中f′（x）为f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，则称f（x）是区间（a，b）上的“δ”函数．已知函数φ（x）=$\frac{m}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-x+e^x是区间（0，+∞）上的“δ”函数．
（1）实数m的取值范围是m＞-$\frac{1}{2}$；
（2）若g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，记S₁=${∫}_{a}^{b}$g（x）dx，S₂=$\frac{g（a）+g（b）}{2}$•（b-a），S₃=g（a）（b-a），其中b＞a＞0，则S₁，S₂，S₃中最大的为s₂＞s₁＞s₃．

Answer 1

分析 （1）问题转化为e^x＞-2mx+1在（0，+∞）恒成立，画出函数的图象，从而求出m的范围；
（2）根据（1），函数g（x）复合条件，根据“凹”函数的特点结合定积分的知识进行判断即可．

解答 解：（1）φ′（x）=mx²-x-1+e^x，φ″（x）=2mx-1+e^x，
∵φ（x）=$\frac{m}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-x+e^x是区间（0，+∞）上的“δ”函数，
∴φ（x）的最小值大于φ（0）=1＞0，φ′（x）的最小值大于φ′（0）=0，
φ″（x）=2mx-1+e^x＞0在（0，+∞）恒成立，
即e^x＞-2mx+1在（0，+∞）恒成立，
画出y=e^x和y=-2mx+1的图象，如图示：
，
∴只需直线y=-2mx+1的斜率小于y=e^x在（0，1）处的切线的斜率即可，
即-2m＜1，解得：m＞-$\frac{1}{2}$；
（2）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，m=1＞-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）是区间（0，+∞）上的“δ”函数，
任取（a，b）上一点x，g（x）＜$\frac{（x-a）g（a）+（b-x）g（b）}{b-a}$，
首先由Lagrange定理知g（x）-g（a）=（x-a）g′（x₁），x₁为（a，x）上一点．
同样地，g（b）-g（x）=（b-x）g′（x₂），x₂为（x，b）上一点．
由在[a，b]上g″（x）＞0知g′（x₂）＞g′（x₁），
$\frac{g（x）-g（a）}{x-a}$＜$\frac{g（b）-g（x）}{b-x}$，
∴[g（x）-g（a）]（b-x）＜[g（b）-g（x）]（x-a），g（x）＜$\frac{（x-a）g（a）+（b-x）g（b）}{b-a}$，
这意味着什么呢…请看图：
，
整个梯形的面积是（b-a）$\frac{g（a）+g（b）}{2}$，
阴影部分的面积是$\frac{（x-a）g（a）+（b-x）g（b）}{b-a}$，
接下来只要证明上面那块面积不为0就行了．
若在[a，b]上g（x）连续，（a，b）上g（x）＞0，则${∫}_{a}^{b}g（x）dx$＞0，
因为任取（a，b）上一点x₁，g（x₁）=a＞0，则由g（x）在[a，b]上连续知存在λ＞0，在[x₁-λ，x₁+λ]上，g（x）＞$\frac{a}{2}$，
所以${∫}_{a}^{b}$g（x）dx≥aλ＞0，
所以${∫}_{a}^{b}$g（x）dx＜$\frac{g（a）+g（b）}{2}$，
同样地，由g′（x）＞0知在（a，b]上，g（x）＞g（a），于是${∫}_{a}^{b}$g（x）dx＞（b-a）g（a），
∴s₂＞s₁＞s₃，
故答案为：m＞-$\frac{1}{2}$，s₂＞s₁＞s₃．

点评 本题考查了函数的新定义问题，考查新定义的应用，考查导数的应用，本题属于难题．