Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（1）证明：EF∥平面A₁CD；
（2）证明：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明EF∥A₁D即可证明EF∥平面A₁CD；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．

解答 证明：（1）连结DE，
∵D，E分别是AB，BC的中点
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵F为棱A₁C₁的中点．
∴A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∴A₁F∥$\frac{1}{2}$AC，
即DE∥A₁F，DE=A₁F，
∴四边形A₁DEF为平行四边形，
∴A₁D∥EF
又∵EF?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（2）∵A₁A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴AB⊥CD，
∵A₁A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵CD?平面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．