Question

5．对椭圆有结论一：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），过点P（$\frac{a^2}{c}$，0）的直线l交椭圆于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，则直线M′N过点F．类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线C′：$\frac{x^2}{3}$-y²=1的右焦点为F，过点P（$\frac{3}{2}$，0）的直线与双曲线C′右支有两交点M，N，若点N的坐标是（3，$\sqrt{2}$），则在直线NF与双曲线的另一个交点坐标是$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．

Answer 1

分析 由已知结论一类比得到结论二，然后求出过点P、N的直线方程，再和双曲线方程联立求得M的坐标，找关于x轴的对称点得答案．

解答 解：由结论一类比得到结论二为：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F（c，0），过点P（$\frac{a^2}{c}$，0）的直线l交双曲线于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，则直线M′N过点F．
由双曲线C′：$\frac{x^2}{3}$-y²=1，
得a²=3，b²=1，∴c²=a²+b²=4，c=2．
∴右准线与x轴交点P（$\frac{3}{2}$，0），
则过N（3，$\sqrt{2}$）、P的直线方程为$\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{x-\frac{3}{2}}{3-\frac{3}{2}}$，即$y=\frac{2\sqrt{2}}{3}x-\sqrt{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2\sqrt{2}}{3}x-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{5}}\end{array}\right.$．
∴M（$\frac{9}{5}，\frac{\sqrt{2}}{5}$），M关于x轴的对称点为$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．
故答案为：$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．

点评 本题考查了类比推理，考查了双曲线的简单几何性质，考查了计算能力，是中档题．