Question

10．直线y=kx与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，若∠ABF∈（0，$\frac{π}{12}$]，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）

Answer 1

分析 设F₂是椭圆的右焦点．由$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可得BF⊥AF，再由O点为AB的中点，OF=OF₂．可得四边形AFBF₂是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccosθ，BF₂=AF=2csinθ，利用椭圆的定义可得BF+BF₂=2a，可得e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，即可得出．

解答 解：设F₂是椭圆的右焦点．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴BF⊥AF，
∵O点为AB的中点，OF=OF₂．
∴四边形AFBF₂是平行四边形，
∴四边形AFBF₂是矩形．
如图所示，
设∠ABF=θ，
∵BF=2ccosθ，BF₂=AF=2csinθ，
BF+BF₂=2a，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，
∴e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，
sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{12}$]，
∴$（θ+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，
∴$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
∴$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\frac{\sqrt{6}}{2}]$，
∴e∈$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．