Question

15．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O交AB于F，点D是BC的中点，连接OD交圆O于点E．
（1）求证：O，C，D，F四点共圆；
（2）求证：2DF²=DE•AB+DE•AC．

Answer 1

分析 （1）连接CF，OF，由直径所对的圆周角为直角，得到CF⊥AB，从而△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O，C，D，F四点共圆；
（2）利用FD是圆的切线，可得DF²=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r，化简即可得到等式2DF²=DE•AB+DE•AC．

解答 证明：（Ⅰ）连接CF，OF，
因为AC为直径，所以CF⊥AB，
因为O，D分别为AC，BC的中点，所以OD∥AB，
所以CF⊥OD．
因为OF=OC，则∠EOF=∠EOC，且OD=OD，
所以△OCD≌△OFD．
所以∠OCD=∠OFD=90°．
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（Ⅱ）设圆的半径为r，因为OF⊥FD，所以FD是圆的切线，
所以DF²=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r
=DE$•\frac{1}{2}$AB+DE•$\frac{1}{2}AC$．
故2DF²=DE•AB+DE•AC．…（10分）

点评 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．