Question

6．已知函数f（x）=|x-m|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数m的值
（2）若实数a，b，c满足：a²+b²+c²=m，求a+2b+2c的最大值．（m为（1）中的m）

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤3，解得m-3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，可得$\left\{\begin{array}{l}{m-3=-1}\\{m+3=5}\end{array}\right.$，解得m即可．
（2）由（1）可得：a²+b²+c²=2，利用“柯西不等式”即可得出．

解答 解：（1）由f（x）≤3，可得|x-m|≤3，解得m-3≤x≤m+3，
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3=-1}\\{m+3=5}\end{array}\right.$，解得m=2．
（2）由（1）可得：m=2．∴a²+b²+c²=2，
∴a+2b+2c≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=$3\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{2}$，a²+b²+c²=2，即b=c=2a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时取等号．
∴a+2b+2c的最大值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法、“柯西不等式”的性质，考查了计算能力，属于基础题．