Question

16．若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（1）若cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB，求角C的大小；
（2）若a，b，c成等差数列，求角B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用同角三角函数间基本关系化简，整理后利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后根据余弦函数的值域确定出sin$\frac{B}{2}$的范围，继而确定出B的范围即可．

解答 解：（1）已知等式变形得：1-sin²A=sin²B+1-sin²C+sinAsinB，
即sin²A+sin²B-sin²C=-sinAsinB，
利用正弦定理化简得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
则C=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
即4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，
整理得：2sin$\frac{B}{2}$=cos$\frac{A-C}{2}$，
∵-1＜cos$\frac{A-C}{2}$＜1，且sin$\frac{B}{2}$＞0，
∴0＜sin$\frac{B}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{B}{2}$≤$\frac{π}{6}$，即0＜B≤$\frac{π}{3}$，
则B的范围为（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，等差数列的性质，以及余弦函数的值域，熟练掌握定理是解本题的关键．