Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$（x∈R），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁，2-x₂大小关系是大于．

Answer 1

分析 首先利用导数研究出函数的单调性和极值，然后利用构造函数的方法进行判断．

解答 解：f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，得x=1，当x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，

所以当x＜1时函数f（x）单调递增，当x＞1时函数f（x）单调递减，函数f（x）的极大值是f（1）=$\frac{1}{e}$．
令g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2，令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^x+（x-2）e^x-2，于是F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
当x＞1时，2x-2＞0，从而F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数，
所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x），即在[1，+∞）上f（x）＞g（x）．
若（x₁-1）（x₂-1）=0 所以x₁=x₂=1不合题意，舍去；若（x₁-1）（x₂-1）＞0，又因为f（x₁）=f（x₂），所以x₁=x₂=1，不合题意，舍去；所以（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1＜x₂，因为f（x）＞g（x），
所以f（x₂）＞f（2-x₂），又因为f（x₁）=f（x₂），所以f（x₁）＞f（2-x₂），因为x₂＞1，所以2-x₂＜1，由函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，所以x₁＞2-x₂．

点评 本题重点考查导数的应用，以及构造函数的思想，进行证明不等关系．