Question

18．已知集合Mn={n∈N^*|S=$\sum_{i=1}^{n}$|i_2n-1…i_2n|）（其中i₁，i₂，…，i_2n为1，2，…，2n的一个排列），记集合M_n中的元素个数为${d}_{{M}_{n}}$，例如，当n=1时，M₁={1}，${d}_{{M}_{1}}$=1，当n=2时，M₂={2，4}，${d}_{{M}_{2}}$=2；当n=3时，M₃={3，5，7，9}，${d}_{{M}_{3}}$=4．
（1）M₄={4，6，8，10，12，14，16}；
（2）归纳可得${d}_{{M}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

Answer 1

分析 首先求出S，得到M₄，观察M_i的i=1，2，3，几个特征，归纳出M_n的元素是以n为首项，2为公差的等差数列，且最后一项为n²，利用等差数列的公式解答．

解答 解：由题意（1）n=4时，S的可能取值为|1-2|+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4，
S=|1-4|+|2-3|+|5-6|+|7-8|=6，
S=|1-5|+|2-3|+|4-6|+|7-8|=8，
S=|1-8|+|2-3|+|4-5|+|6-7|=10，
S=|1-4|+|2-5|++|3-7|+|6-8|=12，
S=|1-8+|2-7|+||3-4|+|5-6|=14，
S=|1-8|+|2-7|+|3-6|+|4-5|=16，
所以M₄={4，6，8，10，12，14，16}；
（2）由已知M₁，M₂，M₃，M₄，由此归纳推理得到，M_n的元素是以n为首项，2为公差的等差数列，且最后一项为n²，
设共有x项，则n²=n+2（x-1），故x=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．故${d}_{{M}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．
故答案为：{4，6，8，10，12，14，16}；$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

点评 本题考查了归纳推理，关键是由具体的几个，发现规律，总结规律．