Question

10．已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥1．

Answer 1

分析 由a，b，c＞0，且a+b+c=1，运用基本不等式，可得a+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥2b，b+$\frac{{c}^{2}}{b}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，再由累加法和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：由a，b，c＞0，且a+b+c=1，
运用基本不等式，可得
a+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{b}^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{c}^{2}}{b}$≥2$\sqrt{b•\frac{{c}^{2}}{b}}$=2c，
c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，
上式相加可得，a+b+c+$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2（a+b+c），
即为$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c=1，
当且仅当a=b=c，上式取得等号．
则有$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥1成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用，运用累加法和不等式的性质是解题的关键．