Question

20．已知函数f（x）的定义域为R，f（0）=3，且函数f（x-1）为奇函数，f（x+3）为偶函数，则f（2014）+f（2015）=-3．

Answer 1

分析 由f（x-1）为奇函数，f（x+3）为偶函数，可求出f（x）的周期为16．所以f（2014）+f（2015）=f（-2）+f（-1）即可求出．

解答 解：∵f（x-1）为奇函数，
∴f（x-1）=-f（-x-1）．①
 对①式 令x=1 得 f（0）=-f（-2）
∴f（-2）=-f（0）=-3．
 对①式 令x=0 得 f（-1）=-f（-1）
∴f（-1）=0
∵f（x+3）为偶函数，
∴f（x+3）=f（-x+3）②
由①②可知
 f（x）=f[（x+1）-1]=-f[-（x+1）-1]=-f（-x-2）
=-f[（-x-5）+3]=-f[（x+5）+3]=-f（x+8）．
∵f（x）=-f（x+8），
∴f（x+8）=-f（x+8+8）=-f（x+16），
∴f（x）=f（x+16），
∴f（x）是以16为周期的周期函数．
∴f（2014）=f（126×16-2）=f（-2）=-3，f（2015）=f（126×16-1）=f（-1）=0．
∴f（2014）+f（2015）=-3
故答案为-3．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，求得f（x）的周期是关键，考查学生理解奇偶函数的性质并灵活转化运用的能力，属于中档题．