Question

5．函数f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点（$\frac{π}{6}$，0），且相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$
（1）（1）求f（x）的表达式；
（2）试求函数y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$的单调增区间以及使得y$＞\frac{3}{4}$的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简解析式可得f（x）=sin（ωx-φ），由相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，根据周期公式可求ω的值，由图象过点（$\frac{π}{6}$，0），结合φ的范围即可求φ值，从而可求求f（x）的表达式．
（2）化简可求解析式y=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$），由2kπ+$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，可解得函数y的单调增区间，由y=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）$＞\frac{3}{4}$，可解得：cos（2x-$\frac{2π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
利用余弦函数的图象和性质即可解得x的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
∵相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}=π$=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∵图象过点（$\frac{π}{6}$，0），
∴0=sin（2×$\frac{π}{6}$-φ），可解得：φ=$\frac{π}{3}-kπ$，k∈Z
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的表达式为：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）∵y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$=sin²（2×$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{1-cos（2x-\frac{2π}{3}）}{2}$+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）．
∴由2kπ+$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，可解得函数y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$的单调增区间为：[k$π+\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
∵y=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）$＞\frac{3}{4}$，
∴可解得：cos（2x-$\frac{2π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴解得：2x-$\frac{2π}{3}$∈[2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$]，k∈Z，
∴x∈[k$π+\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了余弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．