Question

15．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=4，P是棱BB₁上一点，BP=3，且PA₁⊥PC．
（Ⅰ）证明：PA₁⊥AC．
（Ⅱ）若直线PC₁和平面PAC所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，求三棱锥P-A₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理及其逆定理可得PA₁⊥PA．再利用线面垂直的判定定理可得：PA₁⊥平面PAC，即可证明PA⊥AC．
（II）由（I）可得：PA⊥AC．利用直棱柱的性质可得：AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．AC⊥AB．建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．设AC=a．设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{3}x+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=ay=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．设直线PC₁和平面PAC所成角为θ，则sinθ=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$|cos＜\overrightarrow{P{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{P{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{P{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，解得a．再利用三棱锥P-A₁C₁C的体积V=$\frac{1}{3}$×B₁A₁×${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$即可得出．

解答 （I）证明：在Rt△A₁B₁P中，$P{A}_{1}^{2}$=$P{B}_{1}^{2}+{A}_{1}{B}_{1}^{2}$=$1+（\sqrt{3}）^{2}$=4，
同理可得PA²=12，
而${A}_{1}{A}^{2}$=4²=16．
∴$P{A}_{1}^{2}$+PA²=${A}_{1}{A}^{2}$．
∴PA₁⊥PA．
∵PA₁⊥PC，PA∩AC=A，
∴PA₁⊥平面PAC，
∴PA⊥AC．
（II）解：由（I）可得：PA⊥AC．
又AA₁⊥平面ACB，
∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
∴AC⊥AB．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设AC=a．
P$（\sqrt{3}，0，3）$，C（0，a，0），C₁（0，a，4）．
∴$\overrightarrow{AP}$=$（\sqrt{3}，0，3）$，$\overrightarrow{AC}$=（0，a，0），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=$（-\sqrt{3}，a，1）$．
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{3}x+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=ay=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，0，-1）$．
设直线PC₁和平面PAC所成角为θ，则sinθ=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$|cos＜\overrightarrow{P{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{P{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{P{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3-1|}{\sqrt{4+{a}^{2}}×2}$=$\frac{2}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$，
即$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$，
解得a=1．
∴三棱锥P-A₁C₁C的体积V=$\frac{1}{3}$×B₁A₁×${S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×4×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、向量垂直与数量积的关系、线面角的计算公式、勾股定理及其逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．