Question

7．已知F₁，F₂为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁，l₂分别交椭圆E于A，C和B，D，且l₁⊥l₂，问是否存在常数λ，使得$\frac{1}{|AC|}$，λ，$\frac{1}{|BD|}$成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的定义即可得出a，将P$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆方程可得b²，即可得出；
（II）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．

解答 解：（I）∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，a=2．
∴椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
将P$（1，\frac{3}{2}）$代入可得b²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，$\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，并化简得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
$\begin{array}{l}|{AC}|=\sqrt{（1+{k^2}）}|{{x_1}-{x_2}}|\\=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}\end{array}$，
∵直线BD的斜率为$-\frac{1}{k}$，
∴|BD|=$\frac{12[1+（-\frac{1}{k}）^{2}]}{3+4（-\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}$=$\frac{{3+4{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}+\frac{{4+3{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{7}{12}$，
综上：$2λ=\frac{1}{{|{AC}|}}+\frac{1}{{|{BD}|}}=\frac{7}{12}$，
∴$λ=\frac{7}{24}$，
∴存在常数$λ=\frac{7}{24}$使得$\frac{1}{{|{AC}|}}，λ，\frac{1}{{|{BD}|}}$成等差数列．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．