Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，点A（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上，且AF₂与x轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）有已知：c=2，$\frac{{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}$解得a=$2\sqrt{2}$，b²=4，从而写出方程．（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论．

解答 解：（1）有已知：c=2，$\frac{{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}$∴a=$2\sqrt{2}$，b²=4，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；       
（2）当AB斜率不存在时：${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$，
当AB斜率存在时：设其方程为：$y-\sqrt{2}=k（x-2）（k≠\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+（\sqrt{2}-2k）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4（\sqrt{2}-2k）kx+2（\sqrt{2}-2k）^{2}-8=0$，
由已知：△=16$（\sqrt{2}-2k）^{2}{k}^{2}$-8（2k²+1）$[（\sqrt{2}-2k）^{2}-4]$
=8$（2k+\sqrt{2}）^{2}＞0$，
即：$k≠-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}-|2k+\sqrt{2}|}{2{k}^{2}+1}$，

O到直线AB的距离：d=$\frac{|\sqrt{2}-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\sqrt{2}|2-\frac{4}{2{k}^{2}+1}|$，
∴2k²+1∈[1，2）∪（2，+∞），
∴$2-\frac{4}{2{k}^{2}+1}∈[-2，0）∪（0，2）$，
∴此时 ${S}_{△AOB}∈（0，2\sqrt{2}]$，
综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．