Question

8．已知$\frac{1}{3}≤k＜1$，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是关于x的方程|2^x-1|=k的两个实数根，x₃，x₄（x₃＜x₄）是方程|2^x-1|=$\frac{k}{2k+1}$的两个实数根，则（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值是log₂3．

Answer 1

分析 作出函数y═|2^x-1|的图象，利用数形结合确定（x₄-x₃）和（x₂-x₁）的最小值即可得到结论．

解答 解：作出函数y=|2^x-1|的图象如图：
由图象知当k=$\frac{1}{3}$时，x₂-x₁最小，此时由|2^x-1|=$\frac{1}{3}$，
得2^x-1=$\frac{1}{3}$或2^x-1=-$\frac{1}{3}$，
即2^x=$\frac{4}{3}$或2^x=$\frac{2}{3}$，
则x=log₂$\frac{4}{3}$或x=log₂$\frac{2}{3}$，即x₂=log₂$\frac{4}{3}$或x₁=log₂$\frac{2}{3}$，
则x₂-x₁=log₂$\frac{4}{3}$-log₂$\frac{2}{3}$=log₂2=1，
对于$\frac{k}{2k+1}$则当k=$\frac{1}{3}$时，$\frac{k}{2k+1}$有最小值为$\frac{\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{5}$，
则当|2^x-1|=$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{1}{5}$时，x₄-x₃最小，
即此时2^x-1=$\frac{1}{5}$或2^x-1=-$\frac{1}{5}$，
即2^x=$\frac{6}{5}$或2^x=$\frac{4}{5}$，
则x=log₂$\frac{6}{5}$或x=log₂$\frac{4}{5}$，即x₄=log₂$\frac{6}{5}$或x₃=log₂$\frac{4}{5}$，
则x₄-x₃=log₂$\frac{6}{5}$-log₂$\frac{4}{5}$=log₂$\frac{3}{2}$，
故（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值是log₂3，
故答案为：log₂3

点评 本题主要考查指数函数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．