Question

19．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点作直线l与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x=3分别交于C、D两点，记△ACD与△AMN的面积分别为S₁、S₂，且S₁•S₂=$\frac{18}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）通过P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为$-\frac{3}{4}$，及焦距为2，计算可得a²=4，b²=3，从而可得E的方程；
（II）设直线MN的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得直线MA的方程，联立直线MN与椭圆E的方程，利用韦达定理可得S₁，S₂的表达式，通过S₁•S₂=$\frac{18}{7}$计算可得结论•

解答 解：（I）根据题意，设P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），
则$y_0^2=\frac{b^2}{a^2}（{a^2}-x_0^2）$，${k_{PA}}•{k_{QA}}=\frac{y_0}{{{x_0}-a}}•\frac{y_0}{{{x_0}+a}}=\frac{y_0^2}{{x_0^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}$，依题意有$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，
又c=1，所以a²=4，b²=3，
故椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）设直线MN的方程为x=my+1，代入E的方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理知${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，
又直线MA的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}（x-2）$，将x=3代入，
得${y_C}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}=\frac{y_1}{{m{y_1}-1}}$，同理${y_D}=\frac{y_2}{{m{y_2}-1}}$，
所以$|CD|=|{y_C}-{y_D}|=\frac{{|{y_1}-{y_2}|}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}=3\sqrt{{m^2}+1}$，
所以${S_1}=\frac{1}{2}|CD|=\frac{3}{2}\sqrt{{m^2}+1}$，${S_2}=\frac{1}{2}|AF|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{{6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
∵S₁•S₂=$\frac{18}{7}$，即$\frac{3}{2}\sqrt{{m}^{2}+1}×\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{18}{7}$，
∴$\frac{{m}^{2}+1}{6{m}^{2}+8}=\frac{1}{7}$，即m=±1，
∴直线MN的方程为x=±y+1，即x±y=1•

点评 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理等知识，注意解题方法的积累，属于难题．