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    14．已知椭圆C1：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C2：x2=4y的焦点重合，离心率e=$\frac{1}{2}$．
    （1）求椭圆Cl的方程；
    （2）设P是抛物线C2准线上的一个动点，过P作抛物线的切线PA、PB，A、B为切点．
    （i）求证：直线AB经过一个定点；
    （ii）若直线AB与椭圆C1交予M、N两点，椭圆的下焦点为F′，求△MF′N面积的最大值．

    分析 （1）求得抛物线的焦点，可得椭圆的c=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
    （2）（i）设P（t，-1），A（x1，y1），B（x2，y2），运用导数，求得切线的斜率，求得PA，PB的方程，进而得到直线AB的方程，即可得到定点（0，1）；
    （ii）由题意得直线AB斜率存在，设AB：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，得到k的关系式，再由导数判断函数f（u）=3u+$\frac{1}{u}$（u≥1）的单调性，即可得到最大值．

    解答 解：（1）抛物线C2：x2=4y的焦点为（0，1），则椭圆的c=1，
    由于椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
    即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
    （2）（i）证明：抛物线的准线为y=-1，设P（t，-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
    则x12=4y1，x22=4y2，
    y=$\frac{1}{4}$x2的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
    kPA=$\frac{1}{2}$x1，PA：y-y1=$\frac{1}{2}$x1（x-x1）即y=$\frac{1}{2}$x1x-$\frac{1}{2}$x12+y1，
    将x12=4y1代入得PA：y=$\frac{1}{2}$x1x-y1，
    PA过点P（t，-1）代入得tx1-2y1+2=0，
    同理可得由PB过点P（t，-1）可得tx2-2y2+2=0，
    则直线AB：tx-2y+2=0，
    故直线AB恒过定点（0，1）；
    （ii）由题意得直线AB斜率存在，设AB：y=kx+1，代入椭圆方程$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
    得（3k2+4）x2+6kx-9=0，易得判别式大于0恒成立，
    设M（x3，y3），N（x4，y4），
    x3+x4=-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，x3x4=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
    即有S△MNF'=$\frac{1}{2}$|FF'|•|x3-x4|=|x3-x4|=$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（3{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{k}^{2}+4}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
    令u=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（u≥1），即有k2=u2-1，
    S△MNF'=$\frac{12u}{3{u}^{2}+1}$=$\frac{12}{3u+\frac{1}{u}}$，令f（u）=3u+$\frac{1}{u}$（u≥1），
    f′（u）=3-$\frac{1}{{u}^{2}}$＞0，则f（u）在[1，+∞）递增，
    则当u=1，即k=0时，S△MNF'=取得最大值3．
    △MF′N面积的最大值为3，此时k=0，AB的方程为y=1．

    点评 本题考查抛物线和椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查椭圆方程和直线联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，注意运用函数的单调性求最值的方法，属于中档题．

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     学生编号 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
     三项成绩 2，1，2 1，2，2 2，3，2 3，1，1 3，2，2 2，3，1 3，3，31，1，1  3，3，1 2，2，2
    （1）利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；
    （2）从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．

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