Question

5．如图，在四棱锥A-BCDE中，AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，点F为矩形BCDE的对角线的交点，G是AE的中点，平面BCDE⊥平面ABC．
（1）求证：GF⊥平面ABE；
（2）若BC=4，四棱锥A-BCDE的体积为16，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BE⊥面ABC，取BE中点K，连接FK，GK，可证面KFG∥面ABC，从而得到BE⊥面KFG，即FG⊥BE，再由线段AF=FE，G为AE中点得FG⊥AE，然后利用线面垂直的判断得GF⊥平面ABE；
（2）设CD=x，直接由${V}_{A-BCDE}=\frac{1}{3}•4x•2=16$求解x得CD的长．

解答 （1）证明：如图，
∵平面BCDE⊥平面ABC，且BCDE为矩形，
∴BE⊥面ABC，取BE中点K，连接FK，GK，
∵F为EC的中点，G为AE的中点，
∴KF∥BC，KG∥AB，从而证得面KFG∥面ABC，
∴BE⊥面KFG，则FG⊥BE，
取BC中点H，设BC=$\sqrt{2}a$，则AB=AC=a，
∴三角形BAC为Rt三角形，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
再设BE=b，则$AF=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}}{4}}$，EF=$\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{{b}^{2}}{4}}$，
∴AF=FE，
又G为AE中点，
∴FG⊥AE，
又AE∩BE=E，
∴GF⊥平面ABE；
（2）解：∵BC=4，
∴AH=$\frac{1}{2}BC=2$，
设CD=x，
则${V}_{A-BCDE}=\frac{1}{3}•4x•2=16$，即x=6．
∴CD的长为6．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．