Question

20．如图，AB，CD为圆O的两条直径，P为圆O所在平面外的一点，且PA=PB=PC
（1）求证：平面PAB⊥圆O所在平面，
（2）若圆O的半径为2，PA=4，求以圆O为底面，P为顶点的几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA=PB，OA=OB，可得OP⊥AB，再利用勾股定理与逆定理可得OP⊥OC，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）在Rt△OAP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$．再利用圆锥体积计算公式可得：以圆O为底面，P为顶点的几何体的体积V=$\frac{1}{3}•π•O{A}^{2}•PO$．

解答 （1）证明：如图所示，
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP⊥AB，
∴PA²=OA²+OP²=OC²+OP²=PC²，
∴OP⊥OC，
∵AB∩CD=O，
∴OP⊥平面⊙O所在平面．
（2）解：在Rt△OAP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴以圆O为底面，P为顶点的几何体的体积V=$\frac{1}{3}•π•O{A}^{2}•PO$=$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}•2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理与逆定理、线面垂直的判定定理、圆锥体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．