Question

10．已知函数f（x）=（x-a）lnx-x
（1）若f（x）为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=0时，证明：f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（x＞0），由f（x）为增函数，可得f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$≥，化为a≤xlnx；令g（x）=xlnx（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（2）当a=0时，f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1?xlnx≥xe^-x-2e^-1．由（1）可得：$xlnx≥-\frac{1}{e}$．令h（x）=xe^-x-2e^-1．利用导数研究其单调性极值，求出最大值，只有证明h（x）_max$≤-\frac{1}{e}$即可得出．

解答 （1）解：${f}^{′}（x）=lnx+\frac{x-a}{x}$-1=lnx-$\frac{a}{x}$（x＞0），
∵f（x）为增函数，∴f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$≥，化为a≤xlnx；
令g（x）=xlnx（x＞0），g′（x）=lnx+1，
当x∈$（0，\frac{1}{e}）$时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈$（\frac{1}{e}，+∞）$时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{e}$时，函数g（x）取得极小值即最小值，$g（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$，
∴$a≤-\frac{1}{e}$．
∴a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{e}]$．
（2）证明：当a=0时，f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1?xlnx≥xe^-x-2e^-1．由（1）可得：$xlnx≥-\frac{1}{e}$．
令h（x）=xe^-x-2e^-1．h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）=-$\frac{1}{e}$．
由以上可得：xlnx≥xe^-x-2e^-1．
∴f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题等价转化方法，考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于难题．