Question

5．如图，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点为A₁，A₂，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D₁，D₂，直线A₁D₁，A₂D₂交于点K，证明点K在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）由已知，$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$|BF|=\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，结合a²=b²+c²，可得椭圆C的方程；
（2）通过联立直线D₁D₂与椭圆方程、利用韦达定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，设直线A₁D₁、A₂D₂，并联立两直线方程，消去y得$\frac{{x+\sqrt{2}}}{{x-\sqrt{2}}}=\frac{{{y_2}（{x_1}+\sqrt{2}）}}{{{y_1}（{x_2}-\sqrt{2}）}}$，计算即得结论．

解答 解：（1）由已知，$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$|BF|=\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a²=b²+c²，∴$a=\sqrt{2}$，b=1，
因此椭圆C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由题意，设直线D₁D₂：y=k（x-2），D₁（x₁，y₁），D₂（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，得：（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，
由韦达定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$     ①
设直线A₁D₁：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2）}$，A₂D₂：$y=\frac{y_2}{{{x_2}-\sqrt{2}}}（x-\sqrt{2）}$，
联立两直线方程，消去y得：$\frac{{x+\sqrt{2}}}{{x-\sqrt{2}}}=\frac{{{y_2}（{x_1}+\sqrt{2}）}}{{{y_1}（{x_2}-\sqrt{2}）}}$       ②
又$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{2}+{y_2}^2=1$，并不妨设D₁，D₂在x轴上方，
则${y_1}=\sqrt{1-\frac{x_1^2}{2}}$，${y_2}=\sqrt{1-\frac{x_2^2}{2}}$，
代入②中，并整理得：$\frac{{x+\sqrt{2}}}{{x-\sqrt{2}}}=\frac{{{y_2}（{x_1}+\sqrt{2}）}}{{{y_1}（{x_2}-\sqrt{2}）}}=-\sqrt{\frac{{（\sqrt{2}+{x_1}）（\sqrt{2}+{x_2}）}}{{（\sqrt{2}-{x_1}）（\sqrt{2}-{x_2}）}}}$=$-\sqrt{\frac{{2+\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}}}{{2-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}}}}$，
将①代入上式，并化简得$\frac{{x+\sqrt{2}}}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{2}-1}}$，解得x=1，
因此直线A₁D₁，A₂D₂交于点K在定直线x=1上．

点评 本题主要考查椭圆的定义和简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．