Question

20．如图，⊙O₁与⊙O₂交于C、D两点，AB为⊙O₁的直径，连接AC并延长交⊙O₂于点E，连接AD并延长交⊙O₂于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G．
（Ⅰ）求证：GF⊥AG；
（Ⅱ）过点G作⊙O₁的切线，切点为H，若G、C、D三点共线，GE=1，EF=6，求GH的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用四点共圆证明：∠GEC=∠ABC，进一步证明∠EGA=90，即可证明GF⊥AG；
（Ⅱ）利用切割线定理可得GH²=GE•GF，即可求出GH．

解答 （Ⅰ）证明：连接BC，GD，则
因为AB为⊙O₁的直径，
所以∠ACB=90°，
所以∠ABC+∠CAB=90°，
由A，B，C，D四点共圆，得∠ABC=∠FDC；
由C，D，F，E四点共圆，得∠GEC=∠FDC，
所以∠GEC=∠ABC，
所以∠GEC+∠CAB=90°，
所以∠EGA=90°
所以GF⊥AG；
（Ⅱ）解：因为GH为⊙O₁的切线，GCD为⊙O₁的割线，
所以GH²=GC•GD，
因为GCD，GEF为⊙O₂的割线，
所以GC•GD=GE•GF，
所以GH²=GE•GF，
所以GH=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查四点共圆的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．