Question

15．己知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC的中点，求$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{NM}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再根据$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及a、c与b之间的关系，易得a²=4，从而可得椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），x₀≠0，则点P满足椭圆方程，根据题意，易得M（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀）、N（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），计算$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{NM}$即可•

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$且点B在直线l：y=一1上，
∴b=1，
又∵$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-c²=b²=1
∴a²=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），x₀≠0，则Q（0，y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∵M为线段PQ的中点，∴M（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），
∵A（0，1），∴直线AM的方程为：$y=\frac{2（{y}_{0}-1）}{{x}_{0}}x+1$，
令y=-1，得C（$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，-1），
∵B（0，-1），N为线段BC的中点，∴N（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），
∵$\overrightarrow{NM}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，y₀+1），$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{NM}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$）+y₀（y₀+1）
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}+{{y}_{0}}^{2}+{y}_{0}$
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}$+y₀
=1-（1+y₀）+y₀
=0•

点评 本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．