Question

4．某校高三学生，每个学生的语文、英语成绩至少有一科优秀，已知语文成绩优秀的有200人，英语优秀的有150人，如果从该校高三学生中随机抽取一名学生，则语文、英语都优秀的学生被抽到的概率等于$\frac{1}{6}$，现在用分层抽样的方法从该校高三学生中按语文优秀英语不优秀，英语优秀语文不优秀，语文、英语都优秀抽取6名学生座谈有关语文、英语学习问题，在抽到的6名学生中，设语文优秀英语不优秀的有a人，英语优秀语文不优秀的有b人，语文、英语都优秀的有c人
（Ⅰ）求a，b，c的值
（Ⅱ）若在抽取的6名学生中再随机抽取2人，求抽到的2人语文都优秀的概率P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意解得x₃=50，x=150，x₂=100，再解得a=3，b=2，c=1，
（Ⅱ）运用列举的方法求解得出基本事件，判断符合题意的，再运用古典概率求解即可．

解答 解：（Ⅰ）该校高三学生中按语文优秀英语不优秀的有x₁人，英语优秀语文不优秀有x₂人，语文、英语都优秀有x₃人，
根据题意得出$\frac{{x}_{3}}{350-{x}_{3}}$=$\frac{1}{6}$，解得x₃=50，
∴x₁=200-x₃=150，x₂=15-x₃=100，
∵$\frac{6}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}$=$\frac{1}{50}$，
∴a=$150×\frac{1}{50}$=3，b=100×$\frac{1}{50}$=2，c=$50×\frac{1}{50}$=1，即a=3，b=2，c=1，
（Ⅱ）设语文优秀英语不优秀的3人分别为a₁，a₂，a₃，英语优秀语文不优秀2人为b₁，b₂，语文、英语都优秀1人为c₁，
从这6人中随机抽取2人的情况为：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，c₁），
（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，c₁），
（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₃，c₁），
（b₁，b₂），（b₁，c₁），
（b₂，c₁），
共有15个，
抽到的2人语文都优秀的
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，c₁），（a₂，c₁），（a₃，c₁），
共6个，
抽到的2人语文都优秀的概率P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$

点评 本题考查了统计知识在概率问题中的应用，关键是列举基本事件，做到不重复，不遗漏．