Question

14．已知函数f（x）=x+sinx，不等式f（x）≥axcosx在[0，$\frac{π}{12}$]上恒成立，则a的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 （2）设g（x）=x+sinx-axcosx，x∈[0，$\frac{π}{12}$]，然后利用导数研究函数的最小值，使得g（x）_min≥0即可．

解答 解：由题意设：g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，x∈[0，$\frac{π}{12}$]，
1°当a≤0时，g（x）≥0恒成立； 
2°当a＞0时，g′（x）=（1-a）cosx+axsinx+1，
①0＜a≤2时，g'（x）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{12}$]单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0恒成立；
②a＞2时，注意到当x∈[0，$\frac{π}{12}$]时，x≥sinx，
于是g（x）≤2x-axcosx=x（2-acosx），
必存在x∈[0，$\frac{π}{12}$]，使得当x∈（0，x₀）时，有g（x₀）＜0，不能使g（x）≥0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数学结合、分类讨论的思想进行探究、分析与解决问题的能力．