Question

4．如图，A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的两个顶点，|AB|=$\sqrt{7}$，椭圆离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l∥AB，且与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆交于E，F，如图所示，记△BEN与△AMF的面积分别为S₁与S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得得a²+b²=7，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得 a² 和b² 的值，可得 椭圆的方程．
（2）不妨假设直线l经过原点，可得直线l的方程为 $\sqrt{3}$x+2y=0，求得E、F的坐标，再根据 M、N、O三点重合求得△BEN面积S₁=$\frac{1}{2}$•OB•|x_E|的值、△AMF的面积S₂=$\frac{1}{2}$•OA•|y_F|的值，即可求得 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）根据A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的两个顶点，|AB|=$\sqrt{7}$，
可得a²+b²=7．
再根据椭圆离心率为 $\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得 a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由题意可得，要求的$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值为定值，不妨假设直线l经过原点，
则由（1）可得直线AB的方程为$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=1，即 $\sqrt{3}$x+2y-2$\sqrt{3}$=0，故此时直线l的方程为 $\sqrt{3}$x+2y=0．
再把直线l的方程代入椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），F（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），M、N和点O重合．
∴△BEN面积S₁=$\frac{1}{2}$•OB•|x_E|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；△AMF的面积S₂=$\frac{1}{2}$•OA•|y_F|=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=1．

点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于难题．