Question

13．在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，PB=AB，D，E分别是PA，PC的中点，G，H分别是BD，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面ABC；
（2）求证：平面BCD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明GH∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BCD⊥平面PAC．

解答 证明：（1）连结DE，
在△BDE中，G，H分别是BD，BE的中点，
∴GH为△BDE的中位线，
∴GH∥DE．
在△PAC，D，E分别是PA，PC的中点，
∴DE是△PAC的中位线，
∴DE∥AC，
∴GH∥AC．
∵GH?平面ABC，
∴GH∥平面ABC．
（2）∵AB=PB，
∴BD⊥PA，
∵∠PBC=∠ABC=90°，
∴PC=AC，
∴CD⊥PA，
∴PA⊥平面BCD，
∴平面BCD⊥平面PAC．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．