Question

2．已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率e₂，则$\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2}$=4．

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），${a}_{1}^{2}-{b}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}+{b}_{2}^{2}$=c²，c＞0．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a₁，n-m=2a₂，由于∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示，
设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
${a}_{1}^{2}-{b}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}+{b}_{2}^{2}$=c²，c＞0．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则m+n=2a₁，n-m=2a₂，
解得m=a₁-a₂，n=a₁+a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，
由余弦定理可得：（2c）²=${m}^{2}+{n}^{2}-2mncos\frac{π}{3}$，
∴4c²=$（{a}_{1}-{a}_{2}）^{2}$+$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$-（a₁-a₂）（a₁+a₂），
化为$4{c}^{2}={a}_{1}^{2}$+$3{a}_{2}^{2}$，
化为$\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．