Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x₁，x₂，直线l经过点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），记圆（x+1）²+y²=$\frac{1}{5}$上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（　　）

• A． [0，2]
• B． [0，3]
• C． [0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
• D． [0，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，由极值的概念可得x₁，x₂是f′（x）=0的两根，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得直线AB的斜率和直线方程，运用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，求得g（m）=d-r，再由m的范围，计算即可得到范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²+（2m+3）x的导数为f′（x）=x²+2mx+2m+3，
由题意可得，判别式△＞0，即有4m²-4（2m+3）＞0，
解得m＞3或m＜-1，
又x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m+3，
直线l经过点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
即有斜率k=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂=-2m，
则有直线AB：y-x₁²=-2m（x-x₁），
即为2mx+y-2mx₁-x₁²=0，
圆（x+1）²+y²=$\frac{1}{5}$的圆心为（-1，0），半径r为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则g（m）=d-r=$\frac{|-2m-2m{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}|}{\sqrt{1+4{m}^{2}}}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由于f′（x₁）=x₁²+2mx₁+2m+3=0，
则g（m）=$\frac{3}{\sqrt{1+4{m}^{2}}}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又m＞3或m＜-1，即有m²＞1．
则g（m）＜$\frac{3}{\sqrt{5}}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则有0≤g（m）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．