Question

18．设点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上于点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右交点，I为△PF₁F₂的内心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=2S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先利用三角形内心的性质，将已知面积关系转化为焦点三角形PF₁F₂的边长间的关系，再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义，即可算得该椭圆的离心率

解答 解：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，
则由S${\;}_{△IP{F}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=2S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
得$\frac{1}{2}$PF₁×r+$\frac{1}{2}$PF₂×r=2×$\frac{1}{2}$F₁F₂×r
即PF₁+PF₂=2F₁F₂
即2a=2×2c
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属中档题．