Question

9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁的中点．
（1）证明：DC₁⊥平面BDC；
（2）若AA₁=2，求三棱锥C-BDC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C₁D⊥平面BDC；
（2）利用V_C-BC1D=V_B-CC1D，求几何体C-BC₁D的体积．

解答 （1）证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．（2分）
又∵DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC．（3分）
由题设知$∠ADC=∠{A_1}D{C_1}={45^o}$，∴$∠CD{C_1}={90^o}$，即C₁D⊥DC．（4分）
∵DC∩BC=C，∴DC₁⊥平面BDC．（6分）
（2）解：∵AA₁=2，D是棱AA₁的中点，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}$
∴AC=BC=1，AD=1（7分）
∴$CD=\sqrt{A{D^2}+A{C^2}}=\sqrt{2}$，$D{C_1}=\sqrt{2}$（9分）
∴Rt△CDC₁的面积$S=\frac{1}{2}CD•D{C_1}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$（10分）
∴${V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}S•BC=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$（11分）
∴${V_{C-BD{C_1}}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}$，即三棱锥C-BDC₁的体积为$\frac{1}{3}$．（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．