Question

1．如图，在△PCB中，已知∠PCB=$\frac{π}{2}，∠BPC=\frac{π}{3}$，PB=4．点D为PB的中点．若△APC是△BPC绕直线PC顺时针旋转而成的，记二面角B-PC-A的大小为θ．
（Ⅰ）当θ=$\frac{π}{2}$时，求证：平面ACD⊥平面PBC；
（Ⅱ）当θ=$\frac{2π}{3}$时，求锐二面角B-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当θ=$\frac{π}{2}$时，根据面面垂直的判定定理即可证明平面ACD⊥平面PBC；
（Ⅱ）当θ=$\frac{2π}{3}$时，建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，即可求锐二面角B-CD-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）依题可知AC⊥PC，BC⊥PC，
∴∠ACB=θ，…（2分）
当$θ=\frac{π}{2}$时，有AC⊥BC，PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，在平面PBC内垂直于BC的直线为x轴，CB，CP所在的直线分别为y轴，z轴，
建立空间直角坐标系C-xyz…（7分）

则$A（{3，-\sqrt{3}，0}）$，$B（{0，2\sqrt{3}，0}）$，C（0，0，0）P（0，0，2）
又点D为PB的中点，
∴$D（{0，\sqrt{3}，1}）$
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow m=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{CA}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）•（{3，-\sqrt{3}，0}）=0\\（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）•（{0，\sqrt{3}，1}）=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{1}-\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${y_1}=\sqrt{3}$，
∴x₁=1，z₁=-3，
∴$\overrightarrow m=（{1，\sqrt{3}，-3}）$…（10分）
又平面BCD的法向量$\overrightarrow n=（{1，0，0}）$…（11分）
设二面角B-CD-A的大小为α，
∴$cosα=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{{\sqrt{13}}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
∴锐二面角B-CD-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$…（13分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法．