Question

16．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明EM⊥BF；
（2）求三棱锥E-ABF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．
（2）求出底面面积和高，由V_E-ABF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}MB•{S}_{△AEF}$可得答案．

解答 （1）证明：∵EA⊥面ABC，BM?面ABC，
∴EA⊥MB
∴MB⊥AC，AC∩EA=A，
∴MB⊥面ACEF
∵EM?面ACEF，
∴EM⊥MB
在直角梯形ACEF中，EA=3，FC=1，AC=4
∴EF=2$\sqrt{5}$
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BM⊥AC
∴AM=3，CM=1
∴EM=3$\sqrt{2}$，MF=$\sqrt{2}$
∵EF²=EM²+MF²
∴EM⊥MF，又MB∩MF=M
∴EM⊥面MBF，
∵BF?面MBF
∴EM⊥BF…（8分）
（2）解：由（1）知，MB⊥面ACFE
∴V_E-ABF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}MB•{S}_{△AEF}$
在直角梯形ACEF中，${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}AE•AC$=6，MB=$\sqrt{3}$
∴V_E-ABF=2$\sqrt{3}$…（14分）

点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，三棱锥E-ABF的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．